Le pluriel commence à partir de deux. Avant, c'est le singulier.

Pas de sport = 0 sport ou aucun sport, donc sport au singulier.

Faire du sport, c'est pratiquer au moins un sport. La pratique d'un sport suffit pour affirmer que vus faites du sport. Si vous ne faites pas au moins un sport, vous ne faites pas de sport. Là aussi, on retombe sur le singulier, car on reste en-dessous de deux.

Par contre, on écrirait "je ne pratique pas deux sports, je n'en ai pas le temps".

En ce qui concerne l'exemple des gâteaux, on écrit "pas de gâteaux" pour des petits gâteaux, car presque toujours, on en mange plusieurs, en raison de leur petite taille.

"Pas de gâteau" (singulier) signifierait que vous ne voulez pas goûter à une part d'un grand gâteau.